Matemáticos crean un tetraedro que cae siempre en el mismo lado

Con la ayuda de potentes ordenadores, tres matemáticos construyen por primera vez un objeto con forma de tetraedro que solo puede estabilizarse sobre una de sus caras. La proeza, que resuelve un reto planteado en 1966, podría tener implicaciones prácticas en ingeniería aeroespacial.

Por Enrique Coperías

Durante décadas, el mundo de la matemática geométrica ha estado fascinado por un rompecabezas aparentemente sencillo: ¿es posible diseñar un tetraedro monostable —una pirámide de cuatro caras triangulares— que, sin importar cómo se lo deje caer, siempre termine reposando sobre una única cara?

La pregunta, planteada en 1966 por los matemáticos británicos John Conway y Richard Guy, parecía trivial en apariencia, pero escondía una complejidad asombrosa.

Más de medio siglo después, un equipo formado por el húngaro Gergő Almádi, el canadiense Robert J. MacG. Dawson y el también húngaro Gábor Domokos ha dado con la primera realización física convincente de un tetraedro monostable, es decir, un objeto que siempre encuentra el equilibrio sobre una sola cara.

La materialización del tetraedro monoestable no solo cierra un capítulo de la historia matemática, sino que apunta a posibles aplicaciones en robótica, diseño industrial y exploración espacial.

El desafío planteado por Conway y Guy en 1966

La estabilidad gravitacional de los cuerpos sólidos es un terreno fértil para la investigación matemática, especialmente cuando se analiza desde la perspectiva de los poliedros, esas figuras geométricas de caras planas y bordes rectos. El tetraedro, la forma más simple dentro de esta categoría, ha sido objeto de especial interés, porque, a pesar de su simplicidad aparente, su comportamiento dinámico puede resultar desconcertante.

En 1966, Conway y Guy propusieron demostrar que cualquier tetraedro homogéneo —es decir, con masa uniformemente distribuida— siempre tendrá al menos dos caras estables. La conjetura fue confirmada poco después, lo que significaba que, al menos bajo condiciones ideales de homogeneidad, el objetivo de diseñar un tetraedro que solo pudiera reposar sobre una cara era imposible.

Sin embargo, el propio Conway, años más tarde, confesó haber ideado una variante no homogénea que sí parecía comportarse como monostable. La clave estaba en modificar la distribución de masa sin alterar la forma geométrica. Pero transformar esa intuición teórica en un objeto real —uno que pudiera construirse sin violar las leyes de la física ni hacer trampas geométricas— resultó una tarea esquiva durante décadas.

La solución de 2025: primera construcción real de un tetraedro monostable

En 2024, el trío formado por Almádi, Dawson y Domokos avanzó notablemente en la formalización del problema. En un artículo anterior, definieron rigurosamente las condiciones que debe cumplir un tetraedro para ser loadable o cargable: es decir, capaz de adquirir estabilidad monofacial mediante una distribución específica de masa.

El ingrediente esencial es la existencia de un camino obtuso, una secuencia de tres bordes con ángulos obtusos que conecta los vértices de la figura.

Estos caminos permiten establecer los llamados patrones de caída: secuencias predecibles de vuelcos que guían al objeto hasta su única posición estable. Si el centro de masa se sitúa en determinadas regiones dentro del volumen del tetraedro, llamadas zonas de carga, entonces el comportamiento monostable está garantizado. La teoría ofrecía el mapa, pero faltaba construir la máquina.

Esta forma geométrica solo puede apoyarse en uno de sus cuatro lados. Cortesía: Gábor Domokos

La alquimia de los materiales

El paso decisivo fue asumir un enfoque ingenieril. Usando los principios de diseño extraídos de la teoría, los autores fabricaron un tetraedro a partir de dos materiales con densidades radicalmente distintas:

✅ Para el armazón recurrieron a tubos de fibra de carbono (densidad: 1,36 g/cm³), ligeros como una pluma.

✅ Para el núcleo emplearon carburo de tungsteno (densidad: 14,15 g/cm³), un compuesto denso como pocos, incluso más que el plomo.

❌ Adhesivo epoxi: para unir los componentes.

El secreto, como cuentan en el repositorio en línea de acceso abierto arXiv, residía en ubicar la masa densa en una región estratégica para situar el centro de gravedad exactamente dentro de la zona de carga de un patrón de caída tipo I —los más amplios y, por tanto, más realizables con materiales reales—. Tras una serie de cálculos computacionales y ajustes geométricos, nació el primer prototipo funcional.

El resultado es una estructura con un volumen total de unos 668 centímetros cúbicos que, si se deja caer sobre cualquier cara que no sea la cara D, inevitablemente rueda o cae hasta estabilizarse sobre ella. Las simulaciones y experimentos mostraron que el patrón de caída seguía consistentemente la secuencia C → D → A → B, o una de sus variantes equivalentes. La estabilidad era real, repetible y sin trampa: los bordes eran perfectamente rectos.

Lo que no puede ser (por ahora)

Por contraste, los autores exploraron también los patrones de caída tipo II, mucho más exigentes en términos de masa. Para recrear uno de estos escenarios con el mismo armazón de fibra de carbono, calcularon que el núcleo denso debería tener una densidad mínima de 234 g/cm³, un orden de magnitud superior al de cualquier material terrestre conocido. Es decir, físicamente imposible… al menos con la tabla periódica actual.

Esto sugiere que modelos previos que parecían monostables, como uno construido por Dawson hace décadas con láminas de plomo y bambú, probablemente dependían de ligeras curvaturas en sus bordes. Y ahí reside una diferencia crucial: los bordes rectos no son un capricho matemático, sino una condición realista en muchas aplicaciones técnicas.

En ingeniería espacial, la estabilidad de estructuras no convexas, como los módulos de aterrizaje, es crucial. El módulo lunar Nova-C Odysseus, de la misión IM-1 de la NASA, terminó volcado tras su alunizaje en febrero de 2024, debido a que una de las seis patas del tren de aterrizaje no resistió el impacto, ilustrando los riesgos de un diseño sin autoestabilización. Cortesía: Intuitive Machines

Aplicaciones potenciales: de los rompecabezas a la exploración lunar

Aunque pueda parecer una rareza académica, la construcción de poliedros con propiedades de autoestabilización tiene implicaciones muy prácticas. En ingeniería espacial, por ejemplo, la estabilidad de estructuras no convexas, como los módulos de aterrizaje, puede determinar el éxito o fracaso de una misión. Así ocurrió con el módulo lunar Nova-C Odysseus, de la misión IM-1 de la NASA, que acabó volcado tras su alunizaje en febrero de 2024.

Domokos y sus colegas señalan que, aunque el comportamiento exacto de un objeto irregular es complejo, sus posiciones de equilibrio tienden a estar determinadas por su envolvente convexa. Esta, a su vez, puede aproximarse mediante poliedros con bordes rectos.

Por tanto, comprender cómo manipular la distribución de masa en estos cuerpos puede ayudar a diseñar robots o módulos espaciales que, incluso tras una caída, consigan posicionarse de forma útil o al menos recuperable.

Diseñar objetos que puedan autoenderezarse en cualquier tipo de terreno quizá siga siendo un sueño, pero garantizar que lo hagan en superficies horizontales ya no parece una quimera. Este primer tetraedro monostable puede ser tan solo la semilla de diseños más sofisticados.

Epílogo para un acertijo

El logro de Almádi, Dawson y Domokos cierra una deuda pendiente con la intuición de Conway y con medio siglo de especulación geométrica. Lo que comenzó como un problema de revista en los años sesenta ha terminado convertido en un experimento tangible, construido con tubos, pegamento y cálculo milimétrico.

Y como suele ocurrir en ciencia, resolver una pregunta abre nuevas puertas: ¿podría diseñarse un cubo monostable? ¿O un objeto con múltiples pero contadas posiciones de equilibrio? ¿Podemos llevar esta lógica al diseño de juguetes, envases o instrumentos científicos?

Por ahora, este tetraedro que siempre cae de pie se erige como una pequeña maravilla de la geometría aplicada. Un recordatorio de que incluso los rompecabezas más antiguos pueden esconder respuestas con futuro. ▪️

• Fuente: Gergő Almádi, Robert J. MacG. Dawson and Gábor Domokos. Building a monostable tetrahedron. arXiv (2025). DOI:
  https://doi.org/10.48550/arXiv.2506.19244