Un matemático resuelve el problema más antiguo del álgebra utilizando nuevas e intrigantes secuencias numéricas
Un antiguo problema del álgebra ha recibido una solución inesperada: una fórmula general para resolver cualquier polinomio, sin raíces ni números irracionales. El matemático Norman Wildberger lo ha logrado combinando geometría y combinatoria en una sorprendente serie infinita.
Por Enrique Coperías
El matemático Norman Wildberger, conocido por sus trabajos sobre trigonometría racional y geometría hiperbólica universal, trabaja en su portátil en el campus de Kensington de la UNSW. Cortesía: Elva Darnell / UNSW
Las ecuaciones polinómicas están en el corazón del álgebra. Desde hace más de 4.000 años, los matemáticos han intentado encontrar sus soluciones. Las cuadráticas —ecuaciones de segundo grado que tienen la forma general ax² + bx + c = 0, donde a, b y c son constantes y a ≠ 0— se resolvían ya en tiempos de los babilonios.
En el Renacimiento, el astrónomo, médico y matemático italiano Gerolamo Cardan y otros encontraron fórmulas para las cúbicas y cuárticas. Pero todo se detuvo en el grado cinco: en el siglo XIX, el francés Évariste Galois demostró que no existe una fórmula general con radicales para los polinomios de quinto grado o mayor.
Desde entonces, el problema se consideró cerrado. Los polinomios quínticos o de quinto grado y superiores se resolvían solo por métodos numéricos. Pero Norman Wildberger, catedrático honorario en la Universidad de Nueva Gales del Sur (UNSW), en Australia, y el informático Dean Rubine, han reabierto ese libro con una propuesta sorprendente: una fórmula general que no requiere raíces, sino una serie formal infinita que puede calcularse de forma exacta y progresiva.
¿Por qué prescindir de los radicales?
«Nuestra solución reabre un libro previamente cerrado en la historia de las matemáticas» afirma Wildberger en un comunicado de la Universidad de Nueva Gales del Su.r
En el enfoque clásico, la solución de una ecuación se expresa mediante radicales: raíces cuadradas, cúbicas, etc. Pero los radicales generan números irracionales, que no pueden escribirse como fracciones exactas. Wildberger cuestiona la validez lógica de asumir que tales objetos existen en una fórmula exacta.
«La raíz cúbica de 7, por ejemplo, es 1,9129… y sigue para siempre —explica el matemárico. Y añade—: Aceptar que ese número es un objeto completo es como creer que podemos almacenar un decimal infinito. Se necesitaría un disco duro más grande que el universo. Por eso no creo en los números irracionales».
«Nuestra solución reabre un libro previamente cerrado en la historia de las matemáticas», afirma Wildberger. Cortesía: Elva Darnell / UNSW
De los Catalan a los hipercatalan
Este punto de vista ha sido la base de su trabajo anterior en trigonometría racional y geometría universal, donde sustituye funciones como el seno y el coseno por operaciones puramente algebraicas. En esta línea, su nuevo método evita por completo los irracionales echando mano de series algebraicas que solo requieren sumas, productos y conteo.
El núcleo del método está en la combinatoria, y en particular en los números de Catalan, que hace referencia al matemático belga Eugène Charles Catalan (1814-1894). Se trata de una famosa secuencia que aparece en múltiples ramas de la matemática discreta. Los Catalan cuentan, por ejemplo, cuántas maneras hay de dividir un polígono en triángulos mediante diagonales no cruzadas.
Estos números también están relacionados con la solución en serie de ciertas ecuaciones cuadráticas. Esta estructura tiene aplicaciones en informática, en algoritmos, en estructuras de datos, en biología molecular, por ejemplo, en el plegamiento del ARN o en la teoría de juegos.
Una única fórmula para todos los grados
Wildberger y Rubine han un paso más allá al introducie los números hipercatalanes, una extensión multidimensional de los Catalan que contabiliza no solo divisiones en triángulos, sino también en cuadriláteros, pentágonos y más. Cada combinación de estas formas genera un tipo, y el número total de configuraciones posibles se traduce en un coeficiente de una serie formal que puede usarse para resolver cualquier polinomio.
Lo revolucionario del enfoque es que proporciona una única fórmula general —no una por cada tipo de ecuación— capaz de resolver cualquier ecuación polinómica:
Aquí, los coeficientes combinatorios dependen del número de vértices (V), aristas (E) y caras del polígono subdividido, y se calculan con fórmulas derivadas de la geometría discreta. «Es una fórmula elegante, general y puramente algebraica. Y evita por completo el uso de radicales o números irracionales», explican los autores en el artículo.
Esta serie infinita puede truncarse para obtener aproximaciones numéricas con la precisión deseada. Al sumar un número suficiente de términos, se obtiene una solución cercana a la real.
Un ejemplo práctico: la cúbica de Wallis
Para demostrar la eficacia del método, los autores lo aplican a una famosa ecuación cúbica:
Usando los primeros términos de la serie, obtienen una aproximación numérica con cuatro cifras decimales correctas. Luego, aplicando el bootstrapping —usar la solución como entrada en un nuevo ciclo—, Wildberger y Rubine logran una precisión comparable a los métodos numéricos clásicos. «Nuestra solución funcionó de maravilla —afirma Wildberger. Y añade—: Incluso con ecuaciones clásicas como la de Wallis, obtenemos resultados muy precisos sin recurrir a técnicas analíticas o iterativas tradicionales”.
La Geoda, una joya oculta en la serie
En el proceso de análisis de la serie hipercatalana, los autores descubrieron algo inesperado: una estructura de factorización especial que dio lugar a una nueva matriz algebraica que bautizaron como la geoda. Esta organiza los números hipercatalanes en capas según el número de vértices, aristas o caras, revelando así patrones combinatorios internos.
Esta estructura parece subyacer a los números de Catalan y ofrece nuevas conexiones con árboles incompletos, estructuras jerárquicas y otras construcciones combinatorias.
«La geoda amplía los números catalanes clásicos y parece subyacer a ellos. Esperamos que su estudio plantee muchas preguntas nuevas y mantenga ocupados a los combinatorialistas durante años», comenta Wildberger.
Implicaciones prácticas y filosóficas
El artículo plantea, además, conjeturas abiertas sobre el significado combinatorio de los hipercatalanes: ¿qué otras estructuras, además de los subdigonos, están contando? ¿Se pueden establecer correspondencias directas con árboles, particiones no cruzadas u otras entidades matemáticas discretas?
También proponen una ampliación de la OEIS (Online Encyclopedia of Integer Sequences) para incluir familias enteras de secuencias derivadas de los hipercatalanes, muchas de las cuales ya se identifican con números clásicos como los de Fuss, Riordan, Schröder, etc.
Además del interés teórico, el método tiene implicaciones prácticas muy prometedoras. Al evitar números irracionales y operaciones complejas, podría permitir el desarrollo de software de cálculo simbólico más robusto, eficiente y exacto. «Se trata de un cálculo básico para gran parte de las matemáticas aplicadas —dice Wildberger—. Así que es una oportunidad para mejorar algoritmos en una amplia gama de áreas».
A nivel filosófico, el trabajo también reabre el debate sobre qué significa resolver una ecuación: ¿es hallar un número exacto con infinitos decimales? ¿O basta con una representación finita que podamos construir y manipular con lógica?
Este trabajo de Wildberger y Rubine no es solo una técnica matemática novedosa: es una revisión profunda de los fundamentos del álgebra. Cuestiona dogmas históricos, reinterpreta conceptos clásicos desde una mirada combinatoria, y nos recuerda que en matemáticas, como en la vida, siempre hay más de un camino. «Realmente, hay muchas otras posibilidades. Esto es solo el principio», concluye Wildberger.
Información facilitada por la Universidad de Nueva Gales del Sur
Fuente: Wildberger, N. J., & Rubine, D. A Hyper-Catalan Series Solution to Polynomial Equations, and the Geode. The American Mathematical Monthly (2025). DOI: https://doi.org/10.1080/00029890.2025.2460966
